D'une manière générale, leur, pronom personnel invariable, reste invariable devant un verbe. Si on peut remplacer leur par lui alors leur reste invariable.
Il leur reste un dernier espoir.
==> Il lui reste un dernier espoir.
Mais leur peut aussi être un adjectif possessif. Dans ce cas, il s'accorde en nombre devant un nom pluriel : leurs.
Leur table est belle.
Leurs chaises sont jaunes.
Leur peut aussi être un nom commun dans l'expression "le leur" pour désigner ce qui est à eux. On dit aussi "être des leurs" pour désigner une appartenance à un groupe ou à une famille.
Le voisin a aussi un chat mais le leur est gris.
Il est des leurs.